Jogos e Desafios

O Cheque

2008-03-21T12:54:00.002-03:00

Uma pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas.

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

No cheque foi escrito: ...xxxABx
Mas o correto seria: ...xxxBAx

Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escrito B (é o que queremos achar).

Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o resultado será 270:

...xxxABx
...xxxBAx
----------------
...000270

Portanto devemos ter AB - BA = 27

O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí sabemos que A é o dobro de B, ou seja: A=2B.

Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B:

B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27)
B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)

Portanto os valores são A=6 e B=3.

Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3.

Garrafas na Caixa

2008-02-20T12:50:00.002-03:00

Comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos:

N*P = 1000 => P=1000/N

Tira-se 4 garrafas

Aumenta o preço da dúzia em R$100,00

(N-4)*P+((N-4)/12)*100) = 1000

Colocando N-4 em evidência:

(N-4) (P + 100/12) = 1000

(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000

(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000

Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau:

100N2 - 400N - 48000 = 0

Aplicando Bhaskara encontramos x=24.

PORTANTO, HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA

Enigma da Idade da Senhora

2008-02-08T18:40:00.000-02:00

Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu:

- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos.

Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio Enigma das Idades

Aplique o mesmo método e você encontrará que

A SENHORA TEM 40 ANOS.

A Escada Rolante

2008-01-09T01:08:00.000-02:00

Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Para facilitar vamos dar nome às pessoas:

GUSTAVO sobe 2 degraus por vez MARCOS sobe 1 degrau por vez.

Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).

Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).

FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo.

Então basta montar a equação:

28+X = (14+X)+(7+(X/2))

28+X = 21+(3X/2)

28-21 = (3X/2)-X

7 = X/2

X = 14

Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):

28+14 = 42 degraus

Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:

(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus

SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!

Quanto valem x, y e z?

2008-01-01T14:56:00.000-02:00

Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

São números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz.

xy+yx = zxz

O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é:

99+99 = 198

Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que z=1.

Se z=1 o resultado da soma é 1x1.

Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes:

x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121

Resposta: x=2 , y=9 , z=1

As páginas de um livro

2008-01-01T14:54:00.000-02:00

Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Sendo N o número de páginas do livro, temos:

N/5 = (N/3)-16

(N/5)-(N/3) = -16

(3N-5N)/15 = -16

3N-5N = -16*15

-2N = -240

N = 120

O livro possui 120 páginas!

Qual a diferença entre patos e cachorros?

2008-01-01T14:46:00.000-02:00

Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 ototal de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros.

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

P=número de patos.
C=número de cachorros.

O total de patos e cachorros é 21:

P+C = 21

O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então:

2P+4C = 54

Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos:

P = 21-C

Substituindo na segunda equação temos:

2(21-C)+4C = 5442-2C+4C = 542C = 54-422C = 12C = 6

Agora basta encontrar o P:

P = 21-CP = 21-6P=15

Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9.

Lugar ocupado - Permutação

2008-01-01T14:38:00.000-02:00

Considere os números obtidos do número 12345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando-se esses números em ordem crescente, qual é o lugar ocupado pelo número 43521?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:

1xxxx => P4 = 4! = 24

2xxxx => P4 = 4! = 24

3xxxx => P4 = 4! = 24

41xxx => P3 = 3! = 6

42xxx => P3 = 3! = 6

431xx => P2 = 2! = 2

432xx => P2 = 2! = 2

4351x => P1 = 1! = 1

Somando todas elas:

24+24+24+6+6+2+2+1 = 89

Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.

Resposta: O número 43521 está na 90º posição.

Determine o menor número natural

2007-12-31T02:04:00.000-02:00

Determine o menor número natural, cuja:

Divisão por 2 tem resto 1;
Divisão por 3 tem resto 2;
Divisão por 4 tem resto 3
Divisão por 5 tem resto 4;
Divisão por 6 tem resto 5;
Divisão por 7 tem resto 0.

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema:

X dividido por 2 dá resto 1.

X dividido por 3 dá resto 2.

e assim por diante até:

X dividido por 6 dá resto 5.

Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.

Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2, 3, 4, 5 e 6.

Já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120.

Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7.

Quanto o Homem tinha?

2007-12-31T01:54:00.000-02:00

Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N.

O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar.

Loja 1
O homem entrou com N.
O homem gastou:
(N/2)+1.
Portanto o homem ficou com:

N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2= (N-2)/2

Loja 2

O homem entrou com (N-2)/2
O homem gastou:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
Portanto o homem ficou com:
(N-2)/2 - ((N+2)/4)= (2N-4-N-2) / 4= (N-6)/4

Loja 3

O homem entrou com (N-6)/4
O homem gastou:
( (N-6)/4 )/2 + 1= (N-6)/8 + 1= (N+2)/8

Portanto o homem ficou com "zero reais", porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele entrouna loja 3 menos o dinheiro que ele gastouna loja 3 é igual a zero:

(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14

Portanto, quando o homem entrou na primeira loja ele tinha 14 reais!

Desafio do Triângulo

2007-12-31T01:36:00.000-02:00

Existem N triângulos distintos com os vértices nos pontos da figura abaixo. Qual o valor de N?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Pode-se notar que a figura é parecida com um "A".

Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:

C13,3 = 286

Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as
combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece:

Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos.

Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.

E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si.

Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é:

C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242

Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!

Enigma das Idades nº2

2007-12-21T17:50:00.000-02:00

As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11. Agora estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.

Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.

O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então:

y/x = 4/5 (equação 1)

O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:

(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)

Isolando y na equação 1:

y = 4x/5

Colocando esse valor de y na equação 2 temos:

((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11

(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)

Fazendo o mmc dos dois lados temos:

(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11

11.(4x-40) = 5.(8x-64)

44x-440 = 40x-320

44x-40x = 440-320

4x = 120

x= 30

Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!

Passageiros no Automóvel

2007-12-14T14:02:00.000-02:00

Vamos ao enunciado do enigma dos passageiros no automóvel.

Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

Para resolver esse problema matemático, devemos usar o método dos arranjos. Vamos à resolução do problema.

São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.
Primeiramento, vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel sem o João, usando apenas as outras seis pessoas:

Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5:

A6,5= 720

Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel com o João.

Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás.

Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:

A6,4= 360

O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3:

3 x A6,4= 3 x 360 = 1080

O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João).

Portanto, o número total de maneiras é 720+1080 = 1800 maneiras!!!

Enigma das Idades

2007-12-14T13:30:00.000-02:00

Vamos ao desafio das idades:

Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a sua idade. Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades?

Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

A idade que você tinha chamaremos de x e sua idade atual chamaremos de y.

Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a sua idade atual. Ou seja:

Você tinha x e agora tem y e eu tinha y e agora tenho 2x.

Montando esse enunciado em forma de equação e isolando x, temos que:

y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3)*y

Substituindo o valor de x, podemos escrever a sentença acima, como:

Você tinha (2/3)*y e agora tem y. Eu tinha y e agora tenho (4/3)*y, que nada mais é do que 2x.

Agora preste atenção na segunda frase:

Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos.

Você tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a sua idade y com mais (1/3)*y.

Somando y+(1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.

Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:

Agora eu tenho (4/3)*y+(1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.

A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos, então:

(4/3)*y + (5/3)*y=45

(9/3)*y=45

3y=45

y=15

No início início vimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, o que nos dá x=10.

Mas afinal, quais são as nossas idades?

A sua idade atual é y, logo, 15 anos.

A minha idade é 2x, logo 2.(10) é igual a 20 anos.

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1980-05-26T17:04:00.000-03:00

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