Determine o menor número natural

Determine o menor número natural, cuja:

Divisão por 2 tem resto 1;
Divisão por 3 tem resto 2;
Divisão por 4 tem resto 3
Divisão por 5 tem resto 4;
Divisão por 6 tem resto 5;
Divisão por 7 tem resto 0.

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Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

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Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema:

X dividido por 2 dá resto 1.

X dividido por 3 dá resto 2.

e assim por diante até:

X dividido por 6 dá resto 5.

Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor.

Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2, 3, 4, 5 e 6.

Já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120.

Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7.

Quanto o Homem tinha?

Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou 1 real a mais do que metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja?

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Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

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Quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N.

O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar.

Loja 1
O homem entrou com N.
O homem gastou:
(N/2)+1.
Portanto o homem ficou com:

N - ((N/2)+1) = N-(N/2)-1 = (2N-N-2) / 2= (N-2)/2

Loja 2

O homem entrou com (N-2)/2
O homem gastou:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
Portanto o homem ficou com:
(N-2)/2 - ((N+2)/4)= (2N-4-N-2) / 4= (N-6)/4

Loja 3

O homem entrou com (N-6)/4
O homem gastou:
( (N-6)/4 )/2 + 1= (N-6)/8 + 1= (N+2)/8

Portanto o homem ficou com "zero reais", porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele entrouna loja 3 menos o dinheiro que ele gastouna loja 3 é igual a zero:

(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14

Portanto, quando o homem entrou na primeira loja ele tinha 14 reais!

Desafio do Triângulo

Existem N triângulos distintos com os vértices nos pontos da figura abaixo. Qual o valor de N?

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Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

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Pode-se notar que a figura é parecida com um "A".

Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:

C13,3 = 286

Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que subtrair todas as
combinações que não formam triângulos, ou seja, as combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde isso acontece:

Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser combinados entre si, pois não formam triângulos.

Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.

E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados entre si.

Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de triângulos que podem ser formados é:

C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242

Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!

Enigma das Idades nº2

As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11. Agora estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade da mais velha atualmente?

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Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.

Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.

O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então:

y/x = 4/5 (equação 1)

O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:

(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)

Isolando y na equação 1:

y = 4x/5

Colocando esse valor de y na equação 2 temos:

((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11

(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)

Fazendo o mmc dos dois lados temos:

(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11

11.(4x-40) = 5.(8x-64)

44x-440 = 40x-320

44x-40x = 440-320

4x = 120

x= 30

Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!

Passageiros no Automóvel

Vamos ao enunciado do enigma dos passageiros no automóvel.

Um automóvel comporta dois passageiros no banco da frente e três no banco de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel utilizando 7 pessoas, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

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Para resolver esse problema matemático, devemos usar o método dos arranjos. Vamos à resolução do problema.

São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.
Primeiramento, vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel sem o João, usando apenas as outras seis pessoas:

Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5:

A6,5= 720

Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel com o João.

Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás.

Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4:

A6,4= 360

O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3:

3 x A6,4= 3 x 360 = 1080

O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João).

Portanto, o número total de maneiras é 720+1080 = 1800 maneiras!!!

Enigma das Idades

Vamos ao desafio das idades:

Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a sua idade. Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades?

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Antes de olhar a resposta abaixo tente resolver o desafio sozinho.

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A idade que você tinha chamaremos de x e sua idade atual chamaremos de y.

Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a sua idade atual. Ou seja:

Você tinha x e agora tem y e eu tinha y e agora tenho 2x.

Montando esse enunciado em forma de equação e isolando x, temos que:

y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3)*y

Substituindo o valor de x, podemos escrever a sentença acima, como:

Você tinha (2/3)*y e agora tem y. Eu tinha y e agora tenho (4/3)*y, que nada mais é do que 2x.

Agora preste atenção na segunda frase:

Quando você tiver a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos.

Você tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a sua idade y com mais (1/3)*y.

Somando y+(1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.

Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:

Agora eu tenho (4/3)*y+(1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.

A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos, então:

(4/3)*y + (5/3)*y=45

(9/3)*y=45

3y=45

y=15

No início início vimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, o que nos dá x=10.

Mas afinal, quais são as nossas idades?

A sua idade atual é y, logo, 15 anos.

A minha idade é 2x, logo 2.(10) é igual a 20 anos.